<h3></h3><h3><br></h3> <h3> 前不久我在法國讀書時的老朋友汪師曉從新西蘭回國訪問時專程繞道來廣州看我，我們已經(jīng)26年沒有見面了。 來之前他在給我的電子信中說：We can resume the after-supper walking and chatting——我們可以重新開始晚飯后的散步和聊天。</h3><h3></h3><h3> 老汪是我剛到法國不久在巴黎六大數(shù)學(xué)系圖書館認(rèn)識的。不久，我們都搬到了巴黎南郊的L'Hay-les-Roses的低租金公寓，我們住在同一棟樓的同一層，成了鄰居。朝夕相處，很快成了好朋友。我們一起在公用廚房做飯，一起談?wù)撟x人民日報的讀后感，晚飯后一起散步。記得有一次他來我房間，指著報紙上的一則胡耀邦批評張賢亮的消息說：“石破天驚！中共總書記竟然說張賢亮走得太遠(yuǎn)！”----那時我們剛從張的?綠化樹?里看到了石破天驚這個成語的用法----還沒等我反應(yīng)過來，他又雄辯地發(fā)問：“那么請問胡總書記，你準(zhǔn)備走多遠(yuǎn)？”這是1986年的事了，想起來恍若隔世。</h3><h3></h3><h3> 我們住處不遠(yuǎn)處有一個玫瑰公園，公園不是特別大，但非常漂亮，栽種了所有品種的玫瑰花，在法國是唯一的?，F(xiàn)在想想我們的運(yùn)氣真是好，竟然就住在了這附近。這公園成了我們幾乎每天都去散步的地方，有時候散步時我們會帶上一本數(shù)學(xué)書，坐在公園的草地上討論數(shù)學(xué)。有時候我們也會在公園的水泥乒乓球臺上打乒乓球。</h3><h3></h3><h3> 我們也曾在周六的下午徒步走到使館教育處去看電影，沿著山邊公路走，下面是長長的峽谷，山坡上有狹長的小公園，綠草如茵。</h3><h3> 老汪在數(shù)學(xué)上給我的幫助的重要性，可能他自己都沒有完全意識到。 我的導(dǎo)師給我的第一個問題是把他關(guān)于布朗運(yùn)動的泛函的振蕩積分的一個估計推廣到兩參數(shù)布朗單。這里的關(guān)鍵問題是要求出一個積分算子的所有特征值。在單參數(shù)的情形，因?yàn)檫@個積分算子的逆算子是一個微分算子，所以可以通過解微分方程求得。但兩參數(shù)的情形就不知其逆算子為何物了，因此我在很長一段時間內(nèi)一籌莫展，于是干脆躺倒不干。老汪那時因?yàn)榻鉀Q了他老師給的問題，也十分輕松。我們這兩個極端那時都是窮極無聊， 被他戲稱為每天睡覺時間長達(dá)20小時。當(dāng)然這是夸張了，但的確反映了我們兩人那時無所事事的狀態(tài)。我跟他討論過我的問題，他也提供過一些偏微分方程里頭求特征值的方法，但都是些抽象的結(jié)果，而我要的是具體的值，所以沒什么用。有一天閑聊時，我又跟他說起了我的問題，他問了一句：這個算子的代數(shù)逆存在嗎？我于是想證明其代數(shù)逆不存在，以此說明此問題不好解決，但就在此過程中我找到了方法，求出了全部特征值。老汪幫我核對了所有的計算，在我出發(fā)去向?qū)焾蟾媲埃o我打氣說：你解決這個問題的全部過程我都清楚，不會有問題。我于是信心滿滿地向?qū)熥隽藞蟾?，翻開了留學(xué)生涯的新篇章。 </h3><h3></h3><h3> 老汪的專業(yè)是偏微分方程。他十分欣賞Gilbarg與Trudinger的那本二階橢圓方程的書,常常與我分享他的讀書心得。他給我看Nirenberg-Gargliardo不等式的證明,感嘆于其方法的簡潔和巧妙；他給我看L_p完備性的證明。我所熟悉測度論的書上關(guān)于這個結(jié)論的證明似乎都是通過依測度Cauchy列一定有幾乎處處收斂的子列的結(jié)果過渡,但這一結(jié)果本身的證明內(nèi)涵我實(shí)際上并沒有理解,也許是其思想淹沒在繁瑣的記號里了。但Gilbarg與Trudinger的書里的證明思想就十分清晰:當(dāng)一個序列L_p收斂的速度足夠快時,這個序列本身就是幾乎處處收斂的?；剡^頭再去看依測度收斂的證明，實(shí)際上其核心思想是一樣的：找一個收斂得足夠快的子列。這讓我領(lǐng)略到了收斂速度的重要性，同時也讓我認(rèn)識到，或者是再認(rèn)識到，在學(xué)習(xí)一個命題時，要對其證明理解得深些，再深些，也許隱藏在繁瑣記號后面的思想都是簡潔清晰的。</h3><h3></h3><h3> 留學(xué)生活是相當(dāng)寂寞的，尤其在那個中國很窮的年代，那種感受真是無法形容。這種情況下，朋友間的友情就非常重要。老汪比我年長9歲，閱歷豐富，文革時獨(dú)自一人從上海到江西農(nóng)村插了幾年隊(duì)，睿智，幽默，樂觀。那時，和他聊聊，或者只是見到他房間里亮著的燈光，都會使我的心寧靜許多。</h3><h3><br></h3><h3>2014 —— 2017</h3><h3></h3><h3><br></h3>