<p class="ql-block">近來(lái)，聽到一種說法，說是AI的運(yùn)用將淘汰計(jì)算機(jī)技術(shù)人員，我不得不驚嘆這些人的想象力！人類利用計(jì)算機(jī)技術(shù)創(chuàng)造了人工智能AI，而人工智能AI卻要反噬淘汰AI創(chuàng)造者的人，這不是很奇妙的事情嗎？</p> <p class="ql-block">巧合的是，手中正好有一本剛出版的，由美國(guó)艾伯特?R.邁耶、埃里克?雷曼、湯姆森?萊所著的《計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué)》。讀了幾天，卻讓我們這些從事計(jì)算機(jī)行業(yè)多年的工程技術(shù)人員們，的確有點(diǎn)誠(chéng)惶誠(chéng)恐的感覺。但是，讓我們惶恐不安的并不是AI淘汰計(jì)算機(jī)技術(shù)人員，而是計(jì)算機(jī)技術(shù)面臨新的創(chuàng)新與挑戰(zhàn)。</p> <p class="ql-block">今天的計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展，讓我們不得不承認(rèn)一個(gè)事實(shí)，那就是驅(qū)動(dòng)著計(jì)算機(jī)創(chuàng)造一切神奇的，并非是扎在硅晶的物理世界，而是扎在一片更為古老、更為精純的沃土，數(shù)學(xué)的抽象疆域之中?！队?jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué)》就像是一張?jiān)敱M得近乎虔誠(chéng)的地圖，又引領(lǐng)著我們溯流而上，去探尋那條孕育了現(xiàn)代計(jì)算文明的、名為“數(shù)學(xué)”的母親河。</p> <p class="ql-block">初捧此書，其厚重感首先是一種物理上的實(shí)在，隨即化為一種精神上的威儀。它無(wú)意于提供一條取巧的捷徑，反而像一位嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南驅(qū)В瑘?jiān)持要從最基礎(chǔ)的邏輯與集合論開始它的布道。這開篇的抉擇，本身就富含深意。它仿佛在宣告：欲建摩天樓閣，必先掘深地基。那看似枯燥的命題邏輯、謂詞演算，那關(guān)于集合交并補(bǔ)的樸素運(yùn)算，并非知識(shí)的點(diǎn)綴，而是整個(gè)計(jì)算機(jī)科學(xué)大廈得以巍然屹立的底層語(yǔ)法。布爾代數(shù)那簡(jiǎn)潔的“真”與“假”，直接映射為電路中開關(guān)的“開”與“合”，成為所有硬件行為的原子單位。在這里，數(shù)學(xué)的抽象第一次為物理的實(shí)體賦予了靈魂，思想的“是”與“非”，從此得以在晶體管的微小峽谷間，如洪流般奔騰不息。</p> <p class="ql-block">繼而，本書以極大的耐心與清晰，導(dǎo)引我們進(jìn)入“證明”的圣殿。數(shù)學(xué)歸納法、遞歸定義、良序原理……這些在初學(xué)者眼中或許略顯玄奧的技巧，被作者以抽絲剝繭的筆法，一一呈現(xiàn)其內(nèi)在的優(yōu)雅與力量。我尤其感嘆于遞歸那一章。遞歸，這數(shù)學(xué)中自我指涉的精妙藝術(shù)，何嘗不是自然界與思維界一種根本性的存在模式？一棵樹的枝杈分而又分，一首賦格曲的主題在聲部間追逐重現(xiàn)，乃至一則古老傳說里的“從前有座山，山里有座廟”，都蘊(yùn)藏著遞歸的韻律。而在計(jì)算機(jī)科學(xué)里，遞歸在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（如樹的遍歷）與算法設(shè)計(jì)（如分治策略）中，化身為一種近乎點(diǎn)石成金的本領(lǐng)。通過遞歸定義，我們能用極其簡(jiǎn)潔的語(yǔ)句，描述出無(wú)限復(fù)雜的結(jié)構(gòu)；通過遞歸算法，我們能將龐雜的問題分解為可以駕馭的微小單元。書中對(duì)遞歸的深刻剖析，正是要告訴我們，那驅(qū)動(dòng)著復(fù)雜程序運(yùn)行的核心范式，其純粹的形態(tài)，早已在數(shù)學(xué)的沉思中被演練了千百回。</p> <p class="ql-block">當(dāng)我們的閱讀行進(jìn)至數(shù)論、概率與圖論的地界，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的聯(lián)姻，便從基礎(chǔ)性的支撐，演變?yōu)槌錆M創(chuàng)造性的共舞。這部分的篇章，最是令我感受到一種智力上的酣暢與審美上的愉悅。</p> <p class="ql-block">數(shù)論，這門曾被高斯贊頌為“數(shù)學(xué)皇后”的最純粹學(xué)問，長(zhǎng)期被視為遠(yuǎn)離塵世應(yīng)用的精美瑰寶。然而，在本書的闡述下，我們驚異地看到，這位“皇后”如何步下神壇，成為守護(hù)我們數(shù)字生活安寧的忠誠(chéng)衛(wèi)士。其最輝煌的例證，莫過于非對(duì)稱加密體系，如RSA算法。</p> <p class="ql-block">RSA的魔力，根植于一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)論事實(shí)的深刻運(yùn)用：對(duì)于兩個(gè)大質(zhì)數(shù)，相乘求得其積是輕而易舉的（計(jì)算機(jī)瞬間可成）；然而，給定一個(gè)巨大的合數(shù)，要逆向分解出它的兩個(gè)質(zhì)因數(shù)，在當(dāng)今計(jì)算能力下卻難如登天。這“正向易，逆向難”的不對(duì)稱性，便是整個(gè)現(xiàn)代密碼學(xué)的基石。書中對(duì)模運(yùn)算、歐拉定理等核心概念的鋪墊，在此刻匯聚成一把理解此奇跡的鑰匙。當(dāng)我們明了素?cái)?shù)測(cè)試的隨機(jī)算法，當(dāng)我們追蹤一次基于模冪運(yùn)算的加密與解密過程，我們便是在親眼見證，那些曾被先賢在書齋中把玩的無(wú)功利猜想，如何在數(shù)十年后，成為保障每一筆電子交易、每一次秘密通信的堅(jiān)盾。這不僅是知識(shí)的應(yīng)用，更是一種文明的奇觀——人類思維中最精微的產(chǎn)物，竟能構(gòu)筑起現(xiàn)實(shí)世界最堅(jiān)固的屏障。</p> <p class="ql-block">概率論，則賦予了計(jì)算機(jī)科學(xué)一雙在混沌中辨識(shí)模式的眼睛。書中對(duì)概率的引入，超越了古典概型的簡(jiǎn)單計(jì)算，直指隨機(jī)過程、期望值與隨機(jī)算法的核心。我們生活在一個(gè)充滿不確定性的世界，數(shù)據(jù)可能被噪聲污染，網(wǎng)絡(luò)流量起伏不定，算法在最壞情況下的表現(xiàn)可能極其糟糕。概率，便是我們駕馭這片不確定之海的羅盤。</p> <p class="ql-block">《計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué)》對(duì)隨機(jī)化算法（如快速排序的隨機(jī)化版本）的分析，尤為精彩。確定性算法在面對(duì)惡意構(gòu)造的輸入時(shí)，可能陷入效率的泥沼，而僅僅引入一絲隨機(jī)性，便能以極高的概率，將算法的平均性能提升至令人滿意的境地。這好比一位劍術(shù)大師，不再執(zhí)著于破解對(duì)手每一種可能的招數(shù)，而是以隨機(jī)的步法擾亂其預(yù)判，從而在絕大多數(shù)對(duì)決中輕松取勝。更不消說，概率模型是機(jī)器學(xué)習(xí)、大數(shù)據(jù)分析的命脈所在。從樸素貝葉斯分類器的基本原理，到蒙特卡洛模擬方法的巨大威力，其背后都是概率論在提供理論的合法性。本書在此處的論述，仿佛是為讀者點(diǎn)亮了一盞燈，讓我們看到，計(jì)算機(jī)科學(xué)并非一味追求確定性的僵化體系，而是一個(gè)懂得擁抱偶然、并從中汲取力量的、活生生的智慧體。</p> <p class="ql-block">數(shù)學(xué)中編織關(guān)系之網(wǎng)是圖論。點(diǎn)與線的連接，竟能抽象出世間萬(wàn)物最普遍的關(guān)系——這或許是數(shù)學(xué)賦予我們的最強(qiáng)大、也最直觀的模型之一。對(duì)圖、樹、路徑、連通性等概念的梳理，為理解計(jì)算機(jī)科學(xué)中無(wú)處不在的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提供了通用的語(yǔ)言。</p> <p class="ql-block">從社交網(wǎng)絡(luò)中的好友關(guān)系，到互聯(lián)網(wǎng)中路由器的物理鏈接；從編譯器中程序代碼的依賴分析，到操作系統(tǒng)中的資源分配圖；其底層骨架，無(wú)不是圖。書中對(duì)圖遍歷算法（如深度優(yōu)先搜索與廣度優(yōu)先搜索）的詳盡探討，其意義遠(yuǎn)不止于掌握兩種技巧。它是在傳授一種思考方式，一種如何系統(tǒng)性地探索復(fù)雜關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的思維習(xí)慣。當(dāng)我們理解了最短路徑算法（如Dijkstra算法）如何一步步構(gòu)建出最優(yōu)解，我們便不僅學(xué)會(huì)了一種工具，更領(lǐng)會(huì)了一種“局部最優(yōu)導(dǎo)致全局最優(yōu)”的貪婪策略思想，這種思想本身，就是一種寶貴的數(shù)學(xué)直覺。圖論，以其簡(jiǎn)潔的符號(hào)與結(jié)構(gòu)，將紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題，提煉為可以計(jì)算、可以分析的模型，這正是計(jì)算機(jī)科學(xué)核心方法論——抽象與建?！慕^佳體現(xiàn)。</p> <p class="ql-block">《計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué)》的價(jià)值，遠(yuǎn)不止于它系統(tǒng)性地覆蓋了這些核心數(shù)學(xué)領(lǐng)域。更在于它那貫穿始終的、將形式化方法與直觀理解融為一體的敘事藝術(shù)。它不畏艱難，以清晰的邏輯鏈和豐富的實(shí)例，構(gòu)建起從數(shù)學(xué)定理到計(jì)算機(jī)應(yīng)用的堅(jiān)實(shí)橋梁。它讓讀者看到，一個(gè)優(yōu)雅的數(shù)學(xué)證明，其本身就如同一件精妙的藝術(shù)品，而一個(gè)高效的算法，其靈魂深處往往閃爍著數(shù)學(xué)的對(duì)稱與簡(jiǎn)潔之美。</p> <p class="ql-block">同時(shí)，這本書對(duì)于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界也有著深遠(yuǎn)的指導(dǎo)意義，為我們這個(gè)追逐最新框架、最酷工具的時(shí)代，提供了一種珍貴的“反芻”與“回歸”。當(dāng)人工智能的浪潮席卷一切，其底層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，無(wú)非是線性代數(shù)、微積分與概率論的復(fù)雜綜合體；當(dāng)區(qū)塊鏈技術(shù)引發(fā)革新，其賴以生存的密碼學(xué)協(xié)議，依然建立在數(shù)論的堅(jiān)實(shí)地基之上；當(dāng)我們?cè)诤Ａ繑?shù)據(jù)中挖掘價(jià)值，其核心的聚類、分類算法，無(wú)不是統(tǒng)計(jì)學(xué)與優(yōu)化理論的延伸。不理解這些數(shù)學(xué)根基，所謂的技術(shù)創(chuàng)新，便容易淪為無(wú)源之水、無(wú)本之木，只能在應(yīng)用的淺灘上嬉戲，難以駛向創(chuàng)造的深海。</p> <p class="ql-block">計(jì)算機(jī)科學(xué)，其名中既有“計(jì)算機(jī)”，亦不可或缺“科學(xué)”。而科學(xué)的精髓，在于其系統(tǒng)性的、可證明的知識(shí)體系。若只滿足于調(diào)包俠式的“術(shù)”，而荒疏了探求本源的“道”，整個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展終將遭遇瓶頸。真正的突破，往往來(lái)自于對(duì)基礎(chǔ)理論的深刻理解與跨界融合。說到這里，我們可以說人類創(chuàng)造了數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的奇跡，我們?cè)谟?jì)算機(jī)鍵盤上敲下每一行代碼時(shí)，都能隱約聽見來(lái)自數(shù)學(xué)世界的回響。那回蕩在集合論中的空集之靜謐，那閃爍在布爾代數(shù)中的邏輯之光，那奔涌在遞歸定義中的無(wú)限潛能，那隱藏在素?cái)?shù)分布中的宇宙密碼，那流淌在概率之河中的偶然與必然，那交織在圖論之網(wǎng)中的萬(wàn)物關(guān)聯(lián)……所有這些，共同構(gòu)成了計(jì)算機(jī)科學(xué)沉默的、卻無(wú)比強(qiáng)大的心跳。這種心跳，得依靠人類的智慧去創(chuàng)造發(fā)展，作為計(jì)算機(jī)工程技術(shù)人員自身的能力和素質(zhì)，也有著不斷提升、完善和發(fā)展的新要求。作為AI,那只是計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的一束分枝，依然需要人推進(jìn)發(fā)展。</p> <p class="ql-block">回到我們自身，當(dāng)年輕的學(xué)子在代碼的森林中摸索，當(dāng)資深的工程師在架構(gòu)的迷宮里求索，我們當(dāng)如何自處？我們應(yīng)當(dāng)懷著一份對(duì)科學(xué)的敬畏與熱愛，永遠(yuǎn)走在科學(xué)技術(shù)的前面，永遠(yuǎn)是引路人、先行者、發(fā)明家！</p> <p class="ql-block">《計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué)》這本書，也是一位忠實(shí)的記錄者與引路人。它告訴我們，那驅(qū)動(dòng)數(shù)字時(shí)代奔騰向前的，不僅是電子的流動(dòng)，更是思想的結(jié)晶；那構(gòu)筑虛擬世界宏偉殿堂的，不僅是硅基的芯片，更是人類理性最純粹的火花。于此喧囂變幻的紀(jì)元，能沉心靜氣，追溯人的本源之美，實(shí)乃一種無(wú)上的幸運(yùn)與慰藉。</p>