<p class="ql-block">現(xiàn)在的校外輔導(dǎo)中，制造家長(zhǎng)/學(xué)生焦慮是教培機(jī)構(gòu)常用的方法。例如他們會(huì)拿以往的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題變著花樣地編入教培課程中，通過(guò)增加解題難度制造焦慮，讓一些學(xué)生特別是家長(zhǎng)，越來(lái)越依賴課外校外輔導(dǎo)。</p><p class="ql-block">我們來(lái)看這樣一道小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題：</p><p class="ql-block">在圖中七個(gè)小圓圈中各填入一個(gè)自然數(shù)，同時(shí)滿足以下要求：</p><p class="ql-block">（1）使所填的七個(gè)自然數(shù)的和是1997；</p><p class="ql-block">（2）使圖中給的每個(gè)數(shù)都是相鄰兩個(gè)○中所填數(shù)的差。</p> <p class="ql-block">這道題，出題和解題是不對(duì)等的：出題只需要找出1到7加減等于0的一種方式就可以湊出七個(gè)得數(shù)的答案，而解題卻要至少找出1到7加減等于0的七種方式才能求出答案。也就是說(shuō)，解題時(shí)不僅要找到正確的解法，還需要付出七倍于出題的計(jì)算量。</p><p class="ql-block">出題方的標(biāo)準(zhǔn)答案是：因?yàn)锳+1-2+3+4-5+6-7＝A，</p><p class="ql-block">這樣七個(gè)數(shù)分別為A，A+1，A+1-2＝A-1，A+1-2+3＝A+2，A+6，A+1，A+7，則：</p><p class="ql-block">7A+16＝1997</p><p class="ql-block">從上面這個(gè)答案里看不出解題邏輯，答案是湊出來(lái)的；出題湊數(shù)很容易，解題就難了。換一個(gè)七數(shù)之和，你用答案中的方法就求不出七個(gè)數(shù)各自的值。</p><p class="ql-block">有教培機(jī)構(gòu)把本題的七個(gè)圓圈增加到11個(gè)圓圈11個(gè)數(shù)拿出來(lái)唬人，答案也是給出一組湊出來(lái)的數(shù)，不講基本的解題方法。</p><p class="ql-block">讓我們用魔法打敗魔法，遠(yuǎn)離焦慮。</p><p class="ql-block">首先我們將視野從七個(gè)圓圈構(gòu)成的題擴(kuò)展到任意個(gè)數(shù)的圓圈構(gòu)成的題，看看能得出什么結(jié)論。</p><p class="ql-block"><b>問(wèn)題一</b>：將n個(gè)圓圈連成串，組成首尾相接的閉環(huán)。然后在圓圈內(nèi)填入自然數(shù)，使相鄰兩個(gè)圓圈內(nèi)的數(shù)字之差（大數(shù)減小數(shù)）依次從1遞增到n，即：所有的數(shù)字差構(gòu)成1到n的連續(xù)自然數(shù)。滿足以上條件，n應(yīng)為何數(shù)？</p><p class="ql-block"><b>解答</b></p><p class="ql-block">根據(jù)已知條件，相鄰圓圈中的兩數(shù)之差也是n個(gè)，其中前n-1個(gè)相鄰的后數(shù)減前數(shù)之差（既有正數(shù)也有負(fù)數(shù)）加在一起等于n或-n，相當(dāng)于在下面等式等號(hào)左邊的數(shù)字前加上正號(hào)或負(fù)號(hào)，若等式成立，即表明本題有解。</p><p class="ql-block">1 2 3 4……n-3 n-2 n-1=±n (1)</p><p class="ql-block">像(1)式這種連續(xù)自然數(shù)加減的等式是否成立，要看其中的奇偶關(guān)系。</p><p class="ql-block">(1)式等式左邊1到n-1的連續(xù)自然數(shù)之和可表示為：n(n-1)/2 (2)</p><p class="ql-block">n(n-1)/2的值必須能被分成相減等于n的兩部分。當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，n(n-1)/2也必須是偶數(shù)，因?yàn)榕紨?shù)分成的兩部分?jǐn)?shù)值，要么同為偶數(shù)，要么同為奇數(shù)，兩部分相減之差都還是偶數(shù)。令n=4m (m=1,2,3,4……)，代入(2)式即得到偶數(shù)值2m(4m-1)。</p><p class="ql-block">當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，n(n-1)/2也必須是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)分成兩部分?jǐn)?shù)字的和，一部分是奇數(shù)，另一部分必為偶數(shù)，如此相減的差也是奇數(shù)。令n=4m-1 (m=1,2,3,4……)，代入(2)式即得到奇數(shù)值(4m-1)(2m-1)。</p><p class="ql-block">如此，n的取值范圍包括n=4m和n=4m-1 (m=1,2,3,4……)；</p><p class="ql-block">即n=3,4,7,8,11,12,15,16,19,20……</p><p class="ql-block">知道了n的取值范圍，出題人就可以隨意出題了，比如將圓圈數(shù)增加到20個(gè)，隨便給出20個(gè)數(shù)的和，30000或40000，讓相鄰兩數(shù)之差構(gòu)成1到20的連續(xù)自然數(shù)，題就出好了。即使他不會(huì)解題，但他只須知道在20個(gè)圓圈里填數(shù)字有解就夠了。</p><p class="ql-block">接下來(lái)，我們解析此類題的解題全過(guò)程，特別是對(duì)大量的計(jì)算作了簡(jiǎn)化，使解題變得容易。</p><p class="ql-block"><b>問(wèn)題二：</b> 在n個(gè)圓圈內(nèi)填入n個(gè)數(shù)字，已知n個(gè)數(shù)字之和，且相鄰圓圈內(nèi)兩數(shù)之差按順序分別是1、2、3、4、5……直到n，構(gòu)成1到n的連續(xù)自然數(shù)，要求在圓圈內(nèi)填入符合條件的數(shù)字。請(qǐng)說(shuō)明此類題的解法。</p><p class="ql-block"><b>解答</b></p><p class="ql-block">此類題，只要能使前面的(1)式：1 2 3 4……n-3 n-2 n-1=±n經(jīng)過(guò)添加正負(fù)號(hào)后成立，就有解。為此，先建立一個(gè)方程，設(shè)圓圈內(nèi)數(shù)字個(gè)數(shù)為n，第一個(gè)數(shù)為x，其余n-1個(gè)數(shù)大于或小于x的那部分?jǐn)?shù)值加在一起為y，n個(gè)數(shù)之和為p，則有：</p><p class="ql-block">nx+y=p (3)</p><p class="ql-block">上式中的未知數(shù)是x和y。由于nx=p-y，則只要p與y除以n余數(shù)相同，p-y就能被n整除，x就有整數(shù)解。</p><p class="ql-block">于是問(wèn)題又轉(zhuǎn)化成，在(1)式中添加正負(fù)號(hào)后，得到的與p除以n余數(shù)相同的y值是多少？</p><p class="ql-block">現(xiàn)在我們以n等于11為例，有11x+y=p</p><p class="ql-block">代入(1)式：</p><p class="ql-block">1 2 3 4 5 6 7 8 9 10=±11 (4)</p><p class="ql-block">1-10連續(xù)自然數(shù)之和：(1+10)10/2=55</p><p class="ql-block">55分成和為33和22的兩部分?jǐn)?shù)字組合，因這兩部分相減等于±11，只要使(4)式中這兩部分?jǐn)?shù)字的正負(fù)符號(hào)相反，(4)式即成立。</p><p class="ql-block">(4)式等號(hào)左邊10個(gè)數(shù)是差值，需要轉(zhuǎn)換成位置值才能得到y(tǒng)值。我們用差值為正值舉例：10個(gè)數(shù)中，第一個(gè)差值是+1，它的位置值也是1。第二個(gè)差值是+2，2加上前面的位置值1，它的位置值是3。3加上后面的差值+3，第三個(gè)位置值是6，……。這樣計(jì)算出來(lái)的10個(gè)位置值之和就是y值。</p><p class="ql-block">為使y值的計(jì)算容易，我們先計(jì)算出等式左邊全部10個(gè)差值均為正值時(shí)10個(gè)位置值之和：</p><p class="ql-block">1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=220。由于存在成對(duì)相同的數(shù)值關(guān)系，上式可簡(jiǎn)化為：</p><p class="ql-block">(1×10+2×9+3×8+4×7+5×6)2=220</p><p class="ql-block">下面算式中括號(hào)外的乘2亦是同理。</p><p class="ql-block">以下是(4)式中和為22的不同數(shù)字組合在相應(yīng)位置的數(shù)值之和、相應(yīng)的y值及相應(yīng)(4)式的符號(hào)添加方式：</p><p class="ql-block">A1: (1×10+2×9)2=56 </p><p class="ql-block">y值：220-56×2=108 余9 </p><p class="ql-block">(4)式：-1-2+3+4+5+6+7+8-9-10</p><p class="ql-block">A2: 將上面A1(4)式中10數(shù)正負(fù)符號(hào)取反，y值由正值變成負(fù)值。</p><p class="ql-block">y值：-108 余2</p><p class="ql-block">(4)式：1+2-3-4-5-6-7-8+9+10</p><p class="ql-block">以下A4、A6、A8、A10也同樣對(duì)其前一組合(4)式中的正負(fù)號(hào)取反，同時(shí)y值也變?yōu)樨?fù)值。</p><p class="ql-block">A3: (2×9+3×8)2=84</p><p class="ql-block">y值：220-84×2=52 余8</p><p class="ql-block">(4)式：1-2-3+4+5+6+7-8-9+10</p><p class="ql-block">A4: y=-52 余3</p><p class="ql-block">A5: (1×10+3×8)2=68</p><p class="ql-block">y值：220-68×2=84 余7</p><p class="ql-block">(4)式：-1+2-3+4+5+6+7-8+9-10</p><p class="ql-block">A6: y=-84 余4</p><p class="ql-block">A7: (1×10+5×6)2=80</p><p class="ql-block">y值：220-80×2=60 余5</p><p class="ql-block">(4)式：-1+2+3+4-5-6+7+8+9-10</p><p class="ql-block">A8: y=-60 余6</p><p class="ql-block">A9: (3×8+4×7)2=104</p><p class="ql-block">y值：220-208=12 余1</p><p class="ql-block">(4)式：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10</p><p class="ql-block">A10: y=-12 余10</p><p class="ql-block">A11: 1×10+3×8+4×7+5×6+9×2=110</p><p class="ql-block">y值：220-110×2=0 余0</p><p class="ql-block">(4)式：-1+2-3-4-5+6+7+8-9+10</p><p class="ql-block">以上給出了除以11余數(shù)從0到10的11個(gè)y值。解題時(shí)，按照已知數(shù)p除以11的余數(shù)，對(duì)號(hào)入座找到余數(shù)相同的y值，即可求出第一個(gè)數(shù)x，再按照相鄰數(shù)的差值依次求出后10個(gè)數(shù)。</p><p class="ql-block">舉例：已知數(shù)p可以是任意整數(shù)，今令p=2025，代入(3)式：</p><p class="ql-block">11x+y=2025 (5)</p><p class="ql-block">2025除以11余1，查得A9式中余1的y值是12，代入(5)式，解得x=183</p><p class="ql-block">余1的(4)式符號(hào)添加方式為：</p><p class="ql-block">1+2-3-4+5+6-7-8+9+10</p><p class="ql-block">從第一個(gè)數(shù)字183開始，按照上式依次加/減，得到后10個(gè)數(shù)：</p><p class="ql-block">183+184+186+183+179+184+190+183+175+184+194</p><p class="ql-block">(此處數(shù)字間用加號(hào)隔開，只是為驗(yàn)算方便。)</p><p class="ql-block">n為11的(4)式正負(fù)符號(hào)添加方式有32種，這里給出的11種方式已滿足n為11時(shí)此類題通解的需要，即：無(wú)論p為何數(shù)，都可以找到相對(duì)應(yīng)的y值求出x和另外10個(gè)數(shù)。</p><p class="ql-block">當(dāng)n為其它自然數(shù)時(shí)，求解方法相同，也是要先找到與n個(gè)數(shù)字之和除以n相同余數(shù)的y值。若n值過(guò)大，單靠人力計(jì)算難以完成。</p> <p class="ql-block">11個(gè)圓圈圍成的圓環(huán)</p><p class="ql-block"><br></p> <p class="ql-block">魔法學(xué)校的學(xué)生們</p>