P. R. Halmos說, 學習生活需要時間------當你學會時, 時間已經(jīng)過去了.<br><br>而我的感受是, 當時間過去了, 你仍然沒有學會啊. <br><br>多少個白天和黑夜, 當陽光灑滿書桌, 或者當雪白的臺燈擰亮, 當你打開電腦, 手放在鍵盤上, 當你敲下一個定義、 一個命題、 一個證明, 尤其是當你寫下你自己的感悟和理解的時候, 當你寫下和流行的標準的敘述和證明多少有點不一樣的文字的時候, 你為什么會有那么多的猶豫, 那么多的不自信：你有把握的確是這樣的嗎？你有必要在嚴格的邏輯體系之外再說點什么嗎？你說得這么多不是太啰嗦了嗎？你說得這么少不是跳得太快了嗎？你不越雷池一步不是更安全一些嗎？雷池是存在的嗎？如果存在的話, 邊界又在哪里呢？...... 你確定你能駕馭這個題材嗎？<br><br>當我年輕時, 當我的興趣主要集中在自己的研究工作上的時候, 很多概念沒時間去細想其演化過程, 很多推理沒精力去深究其背后思想, 很多理論沒興趣去了解其歷史背景. 現(xiàn)在, 當時間已經(jīng)過去, 當我已不再年輕, 我需要自問的問題是：你還有時間、精力和興趣去學習這一切了解這一切嗎？在讀那些流暢的, 抑制不住的才華從筆尖奔流而出的作品的時候, 我常常發(fā)自內(nèi)心地感嘆：<br>那些年紀輕輕就寫出了那些清新雋永別開生面的杰作的學者, 他們是怎樣在做出開創(chuàng)性的研究工作的同時做到這一切的？是天才還是勤奮？還是又天才又勤奮？<br><br>在寫作的時候, 我常想起 Wiener, Feller, Doob, Ito, ......這些響亮的名字. 他們在開辟出一塊又一塊新天地的時候, 可都還是二三十歲的年輕人啊, 即使Kolmogorov, 在奠基起概率論的公理體系的時候, 也才四十出頭. 在建立概率論和隨機過程的嚴格的數(shù)學理論的草創(chuàng)時期, 有這么多才華蓋世的年輕人參與, 誰能告訴我, 這是幸運的巧合, 還是上蒼的恩賜？<br><br>而我呢？我學會了嗎？沒有學會嗎？當我寫下我的心得我的體會時, 我真的理解了他們的初心------motivation------他們的技巧了嗎？<br><br>我也不知道, 對你們------好奇的游客和未來的探索者------來說, 在進入一片美麗的風景區(qū)的時候, 你們認為哪個更重要：是盡情地欣賞沿途綺麗的風光, 還是殫精竭慮地規(guī)劃下一段的行程, 找一條最近的路線？<br><br>而我的一點小小的期望是：當列車在峰巒疊嶂之間穿過一條條隧道, 跨越一道道橋梁的時候, 你是否可以先閉上眼睛想一想, 這樣險峻的地方, 如果當初是你, 你會怎么辦？你有辦法過去嗎？然后在撓頭抓腮氣急敗壞, 并最終承認黔驢技窮之后, 看看先賢們是如何抽絲剝繭地分析, 怎樣像董存瑞那樣炸掉一個又一個的碉堡, 怎樣披荊斬棘地開拓, 一磚一瓦地建設(shè), 感受他們匠心獨運的心跡, 學習他們巧奪天工的創(chuàng)造？<br><br>............................................................<br><br>越寫越覺得力有未逮, 只能是盡力而為了.<div><br>隨機過程是一門覆蓋面非常廣泛的學科. 按照N. V. Krylov的說法, 可以很輕易地選出十本一學年教程的材料, 各本之間少有交集. 因此, 我只能就我自己比較熟悉一點的題材寫一點盡可能系統(tǒng)一點好懂一點的介紹, 并寫出一點我個人多年來積累的感悟和理解, 希望能和未來的年輕的研究者分享. 如果能給他們的學習隨機過程提供小小的幫助, 如果能給他們一丁點啟發(fā), 如果能激發(fā)他們一絲絲的最初的興趣, 我就心滿意足了. 不勝粗淺, 難免錯誤, 但是, 即使是粗淺的甚至是錯誤的感受和理解, 也可以將粗淺和錯誤作為引玉之磚或者反面教材, 培養(yǎng)他們深入思考的習慣和識錯糾錯的能力, 不是嗎？不是也要好過只會人云亦云的鸚鵡學舌嗎？<br><br>就我個人的看法, Markov過程過去是、現(xiàn)在是、將來也仍然是最重要的隨機過程, 不知道有沒有之一. 連續(xù)時間Markov過程最重要的例子是Brown運動(它同時也是歷史最悠久的例子和最富于科學背景, 即熱力學背景和金融學背景的例子)和隨機微分方程的解, 而隨機微分方程的研究須臾離不開鞅論, 且后者最重要的例子依然是Brown運動. 所以, 在引入一些基本的概念、名詞和普適的結(jié)果之后, 我們將從Brown運動開始我們的旅程. 其后我們將依次介紹鞅、 Markov 過程、 隨機積分、 隨機微分方程及其和偏微分方程的聯(lián)系. 除了最后一部分外, 這些材料都可以在已有的書中找到, 不過我仍然希望在材料的選取和敘述的方式上有自己的特色------ 當然不是為有特色而有特色; 最后一部分涉及偏微分方程粘性解的概率表示, 我個人到目前為止沒有在其他書中發(fā)現(xiàn)過. 我希望對大部分人來說, 在掌握測度論的基礎(chǔ)上, 這些內(nèi)容基本上一學年可以學完.<br><br>本書就是在這樣的想法下寫作的. 我做到了我想做的十分之一了嗎？或許是百分之一乃至更少？<br><br>問詢南來北往的客......<br><br>在輕松地然而也是忐忑地關(guān)上電腦之前, 有很多人需要感謝.<br><br>首先是感謝科學出版社李欣編輯. 沒有她的建議與耐心, 我不會想到要根據(jù)過去的講稿寫作本書, 寫作過程也不可能比預定計劃長那么久.<br><br>要向汪老師------汪嘉岡教授------表示無盡的感謝. 汪老師非常仔細地閱讀了大部分章節(jié), 提出了寶貴的批評和細致的建議, 同時又給予了熱情的表揚和溫暖的鼓勵. 汪老師還給我講了許多有趣的歷史故事.<br><br>我曾多次造訪姜祖恕教授和周云雄教授. 我忘不了在訪問期間姜老師和周老師對我工作上的殷切教誨和生活上的親切照顧. 在正式的和非正式的討論與閑談中, 我向姜老師和周老師學到了許多東西. 衷心感謝姜老師和周老師.<br><br>我也曾多次就Markov過程方面的問題向老友應堅剛教授請教, 每次都能得到他不厭其煩的釋疑. 謝謝堅剛.<br><br>寫作過程還得到了許多朋友的幫助和鼓勵. 特別是劉繼成博士和張華博士, 他們指出了許多打印的與非打印的錯誤, 在對材料的處理上也提出了許多有益的中肯的意見; 和巫靜博士與張明波博士的討論也使作者多受教益. 向他們以及沒有提到名字的同行朋友們表示誠摯的謝意.<br><br>還要深深感謝王圣同學. 在討論這本書稿的長長的日子里, 他非常認真地研讀了正文和習題, 發(fā)現(xiàn)了不可數(shù)個錯誤, 對幾乎所有的章節(jié)都提出了建議. 同時要感謝的還有徐笑顏、王首天、 黃日鋮等同學, 以及2021年中山大學春季學期選修隨機過程的研究生, 他們同樣指出了不少錯誤, 提出了改進意見.<br><br>在寫作期間得到了國家自然科學基金(No.11871484)的資助和中山大學研究生院研究生教育質(zhì)量提升專項項目的資助, 對此表示誠摯的謝意.<br><br>最后, 感謝我的妻子為我提供了良好的環(huán)境, 使我能專心寫作, 并且耐心細致地校對了全書的文字.<br><br>并謹以此書獻給親愛的奶奶. 自從自九澧女師畢業(yè)的那一天起, 奶奶就是一位普通的鄉(xiāng)村女教師, 在平凡的崗位上和艱苦的環(huán)境中工作生活了一輩子. 奶奶沒能等到我也成為教師的那一天. 今天, 我已超過她當年退休的年齡了, 那么, 就以本書作為向她的匯報吧.<br></div>